ランダムに流れてくる中で、best3をゲットする方法

先日、将棋好きの子供（大人含む）達の将棋合宿に参加した。
今まで２回参加した「と金の会」合宿で、１回目は2011年1月と金の会将棋合宿 in 柏 - HALの日々、
２回目は2011年7月第３回ときんの会将棋合宿 - HALの日々。

今回は３回目の参加。
この合宿については後に記事にする予定だが、今回は夜の親父達の会話の中で話題になった話について。

題して「数学的に正しい、best3をゲットする方法」

色々な品質のモノがランダムに流れてくるときに、それらの中のbest3以内のモノをゲットする方法だ。
例えば、目の前に２０個のリンゴがあり、その中から１位の品質のモノを選ぶのであれば、２０個を吟味して選べばよいのだが、
今回の話は、目の前をリンゴが流れていて、一度、目の前を流れていってしまったリンゴは遡って選ぶことが出来ない、という状況の中で
平均してbest3以内のリンゴをゲットする（数学的にも正しい）方法についてだ。
勿論、この「リンゴ」を「ミカン」や「女性」「男性」に置き換えても数学的確からしさに変わりはないので、夜の宴会で盛り上がった。

これは高校生の頃？、どこかの数学専門雑誌（その雑誌は、きわめて真面目な専門誌だったと思う）で読んだ記憶があり、
「たまたま」憶えていたので話題にした。

以下、２０個の「リンゴ」について、その方法を紹介します。

・最初の５個は黙って見過ごす。
　（勿論、どの位のレベルのリンゴが流れてくるかは今後の行動判断のモトとなるので、この中にbest3がありませんようにと祈りつつ、しっかり見ておく。）

・６〜１０番目のリンゴの中で、それまでで１位のリンゴがあれば、有り難く受け取る。

・１１〜１３番目のリンゴの中で、それまでで１位か２位のリンゴがあれば、有り難く受け取る。

・１４，１５番目のリンゴで、それまでで３位以内のリンゴがあれば、有り難く受け取る。

・１６番目のリンゴが、それまでで４位以内であれば、有り難く受け取る。

・１７番目のリンゴが、それまでで５位以内であれば、有り難く受け取る。

・１８番目のリンゴが、それまでで７位以内であれば、有り難く受け取る。

・１９番目のリンゴが、それまでで１０位以内であれば、有り難く受け取る。

・２０番目のリンゴは、これで最後なので、どの様なリンゴでも有り難く受け取る。

この手順に従えば、平均して１〜３位以内のリンゴをゲットする事が出来ます。
（証明は結構難しいです。と言うよりは、憶えていません。）

本当にこの手法でbest3以内をゲットできるかの実践的証明は、各自で確認していただきたい。